W 1975 roku stanął na czele watykańskiej delegacji do stałych kontaktów roboczych z władzami PRL. Funkcję tę pełnił przez jedenaście lat, do momentu, gdy Jan Paweł II mianował go nuncjuszem we Włoszech.
Kontakty z Polską i Polakami kardynał Poggi utrzymywał od czasów kardynała Augusta Hlonda. Kosztowały go one czasem wiele trudów i upokorzeń ze strony władz. Nie zrażał się tym, mawiając, że ma "polskie serce". Kardynał spisał swoje wspomnienia z tamtego okresu, zostały one zdeponowane w Archiwach Watykańskich.
W piątek w bazylice świętego Piotra mszę pogrzebową za zmarłego kardynała odprawi emerytowany sekretarz stanu kardynał Angelo Sodano, a do obecnych przemówi Benedykt XVI.