mankomaniak
/ 2008-09-02 21:56
/
Pan Forumowicz (ponad 500 wypowiedzi)
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym głosi, ze dowolne przekształcenie
zwężające przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały.
Po ludzku:
Gdy położysz na ziemi np. w Poznaniu mape tego miasta, to
dokładnie jeden punkt na mapie bedzie znajdował sie „na swoim miejscu”.
Fraktale można określać jako punkty stałe pewnych odwzorowań.
Teraz wróćmy do rzeczywistości: zauważmy, że fraktale powstają właśnie w odwzorowaniach zwężających: paprocie, drzewa i liście, brzegi morskie, struktura wszechświata...
Wszystko byłoby fajnie, gdyby nie jeden szkopuł: trzeba jeszcze pokazać, że natura dokonuje odwzorowań w siebie. A jest to przecież pierwotny problem, bo to właśnie stanowi o fraktalności. Niestety nie znalazłem żadnego twierdzenia, które mówiłoby o warunkach dążenia do takich odwzorowań.
Niestety nie można wprost odnieść się do działania ewolucji biologicznej, bo fraktalność obejmuje całe uniwersum.
Mam jednak pewną teorię. Z Prawa Wielkich Liczb (PWL) wszytko dąży do swojej średniej. Można więc powiedzieć, że w pewnym sensie wszystko dąży do równowagi.
Teraz przypomnijmy sobie metodę Gaussa-Seidla. Jest to iteracyjna metoda rozwiązywania układów równań liniowych (n równań z n niewiadomymi) postaci Ax = b; polega na konstrukcji ciągu, którego elementy są coraz lepszymi przybliżeniami szukanego rozwiązania układu. Mówiąc prościej, gdy na wykresie narysuje się dwie proste, tak, aby się przecinały w jakimś punkcie, to jednym ze sposobów obliczenia tego punktu jest metoda iteracyjna poprzez przechodzenie od jednego punktu na jednej prostej do drugiego punktu na drugiej prostej, schodkowo. Należy zauważyć, że metoda ta stanowi odwzorowanie zwężające.
Chociaż do końca tu się nie znam, wydaje mi się, że można potraktować tę metodę także jako wyznaczanie fraktali.
Każda prosta może reprezentować inną ścieżkę ewolucji jakiejś cechy. Ze względu na PWL i dążenie do równowagi, uniwersum będzie dążyć do punktu wspólnego prostych. Natura raczej nie rozwiązuje układów równań w typowy dla nas sposób. Bardziej prawdopodobne, że wybierze właśnie iteracyjną metodę G-S. Jeśli sposób tego dążenia jest rzeczywiście do niej podobny, to nic dziwnego, że sposobem na dotarcie do punktu optimum, jest tworzenie fraktali.
W rzeczywistości nie będą to oczywiście 2 proste, ale cały pęk. Będziemy mieli jednak do czynienia ze zwężaniem, a punkt optimum będzie zapewniony przez twierdzenie o punkcie stałym i Prawo Wielkich Liczb.
To moja teoria. Może jest błędna, w każdym razie myślę, że dość przemyślana.